Question

14．已知定义域是R的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，若$x∈[{\frac{1}{2}，1}]$时，f（1+xlog₂7•log₇a）≤f（x-2）恒成立，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{4}$，1]．

Answer 1

分析 f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，x∈[$\frac{1}{2}$，1]时，不等式f（1+xlog₂a）≤f（x-2）恒成立，可得x∈[$\frac{1}{2}$，1]时，|1+xlog₂a|≤2-x，化为$\frac{x-3}{x}$≤log₂a≤$\frac{1-x}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，1]．再利用函数的单调性即可得出．

解答 解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，
x∈[$\frac{1}{2}$，1]时，不等式f（1+xlog₂a）≤f（x-2）恒成立，
∴x∈[$\frac{1}{2}$，1]时，|1+xlog₂a|≤2-x，
∴x-2≤1+xlog₂a≤2-x，x∈[$\frac{1}{2}$，1]．
∴$\frac{x-3}{x}$≤log₂a≤$\frac{1-x}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，1]．
由$\frac{x-3}{x}$=1-$\frac{3}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，1]的最大值为-2，
$\frac{1-x}{x}$=$\frac{1}{x}$-1在x∈[$\frac{1}{2}$，1]的最小值为0．
∴-2≤log₂a≤0，
解得$\frac{1}{4}$≤a≤1．
故答案为：[$\frac{1}{4}$，1]．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性，属于中档题．