Question

【题目】已知，是曲线上任意一点，动点满足.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点的直线交于，两点，过原点与点的直线交直线于点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）设，，由推出代入方程即可求解点的轨迹的方程；（2）直线的斜率存在，其方程可设为，设，，联立，利用韦达定理，转化求解斜率，推出结果即可．

解：（1）设，，由得：，

则，

即，

因为点B为曲线上任意一点，故，代入得.

所以点的轨迹的方程是．

（2）依题意得，直线的斜率存在，其方程可设为，

设，，

联立得，

所以，.

因为直线的方程为，

且是直线与直线的交点，所以的坐标为.

根据抛物线的定义等于点到准线的距离，由于在准线上，

所以要证明，只需证明垂直准线，

即证轴．

因为的纵坐标.

所以轴成立，所以成立．