Question

【题目】知函数 (、为常数)，曲线在点处的切线方程是．

（1）求、的值

（2）求的最大值

（3）设，证明：对任意，都有.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）证明过程详见解析

【解析】

（1）由，及，解出、的值；

（2）求，得的单调性，求出最值；

（3）对任意， 等价于，

令 ，可求得的最大值为 ，

即 ．

设 ，可得 ，即，

，命题得证

解：（1）由 ，得，

由已知得，解得．

又．

（2）由(1)得： ，

当时， ，所以；

当时， ，所以，

∴当时， ；当时， ，

的单调递增区间是，单调递减区间是，

时， ．

（3）证明：．

对任意， 等价于，

令 ，则 ，

由 得： ，

∴当 时， ， 单调递增；

当 时， ， 单调递减，

所以的最大值为 ，即 ．

设 ，则 ，

∴当 时， 单调递增， ，故当 时， ，即， ，

∴对任意，都有 ．