题目内容
【题目】已知直角梯形,如图(1)所示,
,
,
,
,连接
,将
沿
折起,使得平面
平面
,得到几何体
,如图(2)所示.
(1)求证: 平面
;
(2)若,求二面角
的大小.
【答案】(1)见解析(2) 45°
【解析】试题分析:(1)利用平几知识计算可得,再根据面面垂直性质定理可得结论(2)根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用垂直关系解方程组得各面法向量,利用向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求二面角大小
试题解析:(1)证明:如图(1),过作
交
于
,得正方形
,
∴
∴
∴,
∴
∴
如图(2),∵平面平面
,且两面交线为
,
平面
∴平面
(2)解:取中点
,连接
,则
平面
∵分别为
中点
∴
∴
以为原点,
所在的直线为
轴、
轴、
轴,建立如图坐标系
,
,
,
,
∵
∴
∴
∴
∴,
设为平面
的一个法向量,则
取,则
∴
又为平面
的一个法向量
∴
∵二面角为锐角
∴二面角为45°.
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