题目内容
(本小题满分12分)已知函数,,,其中且.
(I)求函数的导函数的最小值;
(II)当时,求函数的单调区间及极值;
(III)若对任意的,函数满足,求实数的取值范围.
(I);(II)单调增区间是,;单调减区间是;处取得极大值,在处取得极小值.(III)。
解析试题分析:(I),其中.
因为,所以,又,所以,
当且仅当时取等号,其最小值为. 2……………………4分
(II)当时,,.…5分
的变化如下表:0 0
所以,函数的单调增区间是,;单调减区间是.……7分
函数在处取得极大值,在处取得极小值.……8分
(III)由题意,.
不妨设,则由得.
令,则函数在单调递增.10分
在恒成立.
即在恒成立.
因为,因此,只需.
解得. 故所求实数的取值范围为. …12分
考点:基本不等式;求导公式及运算法则;利用导数判断函数的单调性;利用导数求函数的极值。
点评:构造出函数,把证明转化为证明
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