题目内容
如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等,D、E分别是CC1和AB1的中点,点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3
(1)若M为AB中点,求证
BB1∥平面EFM;
(2)求证
EF⊥BC;
(3)求二面角A1—B1D—C1的大小


(1)若M为AB中点,求证

(2)求证

(3)求二面角A1—B1D—C1的大小


(1)证明
连结EM、MF,∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点,
∴BB1∥ME,又BB1
平面EFM,∴BB1∥平面EFM
(2)证明
取BC的中点N,连结AN由正三棱柱得
AN⊥BC,
又BF∶FC=1∶3,∴F是BN的中点,故MF∥AN,
∴MF⊥BC,而BC⊥BB1,BB1∥ME
∴ME⊥BC,由于MF∩ME=M,∴BC⊥平面EFM,
又EF
平面EFM,∴BC⊥EF
(3)解
取B1C1的中点O,连结A1O知,A1O⊥面BCC1B1,由点O作B1D的垂线OQ,垂足为Q,连结A1Q,由三垂线定理,A1Q⊥B1D,故∠A1QD为二面角A1—B1D—C的平面角,易得∠A1QO=arctan

∴BB1∥ME,又BB1


(2)证明


又BF∶FC=1∶3,∴F是BN的中点,故MF∥AN,
∴MF⊥BC,而BC⊥BB1,BB1∥ME

∴ME⊥BC,由于MF∩ME=M,∴BC⊥平面EFM,
又EF


(3)解



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