Question

（本小题14分）
线的斜率是－5。
（Ⅰ）求实数b、c的值；
（Ⅱ）求f(x)在区间[－1,2]上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y＝f(x)上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．

Answer 1

解:(1)当x<1时，f(x)＝－x³＋x²＋bx＋c，则f′(x)＝－3x²＋2x＋b.
令f′(x)＝0得x＝0或x＝.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

又f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0，∴f(x)在[－1,1)上的最大值为2.
②当1≤x≤2时，f(x)＝aln x.当a≤0时，f(x)≤0，∴f(x)的最大值为0；
当a>0时，f(x)在[1,2]上单调递增，∴f(x)在[1,2]上的最大值为aln 2.
综上所述，当aln 2≤2，即a≤时，f(x)在[－1,2]上的最大值为2；
当aln 2>2，即a>时，f(x)在[－1,2]上的最大值为aln 2.
(3)假设曲线y＝f(x)上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴的两侧
不妨设P(t，f(t))(t>0)，则Q(－t，t³＋t²)，显然t≠1.
∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
∴O·O＝0，即－t²＋f(t)(t³＋t²)＝0.　　①
若方程①有解，则存在满足题意的两点P、Q；若方程①无解，则不存在满足题意的两点P、Q.若0<t<1，则f(t)＝－t³＋t²，代入①式得，
－t²＋(－t³＋t²)(t³＋t²)＝0，即t⁴－t²＋1＝0，而此方程无实数解，因此t>1.
此时f(t)＝aln t，代入①式得，－t²＋(aln t)(t³＋t²)＝0，即＝(t＋1)ln t．　　
②令h(x)＝(x＋1)ln x(x≥1)，则h′(x)＝ln x＋＋1>0，
∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增，∵t>1，∴h(t)>h(1)＝0，
当t→＋∞时，h(t)→＋∞，∴h(t)的取值范围为(0，＋∞)．
∴对于a>0，方程②总有解，即方程①总有解．
因此对任意给定的正实数a，曲线y＝f(x)上总存在两点P、Q，使得△POQ是以点O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上

略