Question

在等差数列{a_n}中，a₁=8，a₃=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n；
（3）设bn=

1

n(12-an)

（ n∈N^*），求T_n=b₁+b₂+…+b_n（ n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）解出a_n≥0，分类讨论去掉绝对值符号，利用等差数列的前n项和公式得出S_n．
（3）利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：（1）∵{a_n}成等差数列，a₁=8，a₃=4．
∴8+2d=4，解得公差d=-2
∴a_n=8+（n-1）×（-2）=10-2n．
（2）设a₁+a₂+…+a_n=S'_n
由a_n=10-2n≥0　得n≤5，
∴当n≤5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=

n(8+10-2n)

2

=-n²+9n=S'_n．
当n＞5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₅-a₆-…-a_n
=2S'₅-S'_n=n²-9n+40．
故S_n=

-n2+9n n2-9n+40

1≤n≤5 n＞5

（n∈N）
（3）b_n=

1

n(12-an)

=

1

n•(2n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

） 
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

n

2(n+1)

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式、分类讨论、含绝对值符号的数列求和、“裂项求和”等基础知识与基本方法，属于难题．