题目内容
5.已知AB⊥BC,BC⊥CD,AB=BC=CD,异面直线AB与CD所成的角为$\frac{π}{3}$,则AD与BC所成的角为$\frac{π}{4}$或$\frac{π}{3}$.分析 作出?ABCE,则∠ECD=$\frac{π}{3}$或$∠ECD=\frac{2π}{3}$,直线AE与AD所成的角∠EAD就是直线BC与AD所成的角,由此利用勾股定理和余弦定理能求出AD与BC所成的角.
解答 解:∵AB⊥BC,BC⊥CD,AB=BC=CD,异面直线AB与CD所成的角为$\frac{π}{3}$,
∴如图,作出?ABCE,
则∠ECD=$\frac{π}{3}$或$∠ECD=\frac{2π}{3}$,
直线AE与AD所成的角∠EAD就是直线BC与AD所成的角,
∵AB⊥BC,BC⊥CD,BC∥AE,AB∥EC,
∴AE⊥CD,AE⊥EC,
∵CD∩EC=C,∴AE⊥平面CDE,
设AB=BC=CD=1,则AE=BC=1,
∴当∠ECD=$\frac{π}{3}$时,DE=1,AD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$,
∠EAD=$\frac{π}{4}$,
当$∠ECD=\frac{2π}{3}$时,DE=$\sqrt{1+1-2×1×1×120°}$=$\sqrt{3}$,$AD=\sqrt{1+3}$=2.
∠EAD=$\frac{π}{3}$.
∴AD与BC所成的角为$\frac{π}{4}$或$\frac{π}{3}$.
故答案为:$\frac{π}{4}$或$\frac{π}{3}$.
点评 本题考查两条直线所成角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
练习册系列答案
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