题目内容

9.已知A={α|2cos2α-3cosα+1≤0,α∈R},B={α|2sinα>1,α∈R},
(1)求集合A∩B;
(2)若对任意x∈A∩B,都有$cos2x-4sin({\frac{π}{4}+\frac{x}{2}})sin({\frac{π}{4}-\frac{x}{2}})+m>0$恒成立,求m的取值范围.

分析 (1)分别求出关于A、B中的α的范围,从而求出A∩B,(2)问题转化为对任意x∈A∩B,都有m>$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$(cosx-$\frac{1}{2}$)2恒成立,求出即可.

解答 解(1)A={α|2cos2α-3cosα+1≤0,α∈R}
={α|(2cosα-1)(cosα-1)≤0,α∈R}
={α|$\frac{1}{2}$≤cosα≤1,α∈R}
={α|2kπ-$\frac{π}{3}$≤α≤2kπ+$\frac{π}{3}$,α∈R},
B={α|2sinα>1,α∈R}={α|sinα>0}={α|2kπ<α<2kπ+π},
∴A∩B={α|2kπ<α≤2kπ+$\frac{π}{3}$,k∈Z},
(2)由$cos2x-4sin({\frac{π}{4}+\frac{x}{2}})sin({\frac{π}{4}-\frac{x}{2}})+m>0$
⇒cos2x-4sin($\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$)cos($\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$)+m>0
⇒cos2x-2sin($\frac{π}{2}$+x)+m>0
⇒cos2x-2cosx+m>0
⇒2cos2x-1-2cosx+m>0
⇒m>$\frac{3}{2}$-2(cosx-$\frac{1}{2}$)2
∴若对任意x∈A∩B,都有$cos2x-4sin({\frac{π}{4}+\frac{x}{2}})sin({\frac{π}{4}-\frac{x}{2}})+m>0$恒成立,
即对任意x∈A∩B,都有m>$\frac{3}{2}$-2(cosx-$\frac{1}{2}$)2恒成立,
∵x∈(2kπ,2kπ+$\frac{π}{3}$],∴cosx∈[$\frac{1}{2}$,1),
∴0≤2(cosx-$\frac{1}{2}$)2≤$\frac{1}{2}$,
∴m>$\frac{3}{2}$.

点评 本题考查了集合的运算,考查三角函数的运算,考查函数恒成立问题,本题是一道中档题.

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