Question

f（x）满足?x∈R，f(x)≥0，f(x+1)=

7-f2(x)

，当x∈[0，1）时，f(x)=

x+2(0≤x＜ 5 -2) 5 ( 5 -2≤x＜1)

，则f(2011-

3

)=

 

．

Answer 1

分析：由于f（x）满足?x∈R，f(x)≥0，f(x+1)=

7-f2(x)

得到：f（x+2）=f（x），可知函数f（x）的周期T=2，所以则f(2011-

3

)=f（2×1005+1-

3

)=f（1-

3

），f（x）满足?x∈R，f(x)≥0，f(x+1)=

7-f2(x)

得到f²（x+1）+f²（x）=7 又f(2-

3

 )=4-

3

  所以即可求得．

解答：解：因为f（x）满足?x∈R，f(x)≥0，f(x+1)=

7-f2(x)

?f²（x+1）+f²（x）=7    ①
                                                            f²（x）+f²（x-1）=7    ②
         ①-②得：f²（x+1）-f²（x-1）=0?f（x+1）+f（x-1）=0（舍）或f（x+1）-f（x-1）=0，
由f（x+1）-f（x-1）=0，式子中的x被x+1代替得：f（x+2）=f（x），利用函数的周期的定义可知函数f（x）的周期T=2，
所以则f(2011-

3

)=f（2×1005+1-

3

)=f（1-

3

），
又因为当x∈[0，1）时，f(x)=

x+2(0≤x＜ 5 -2) 5 ( 5 -2≤x＜1)

，而f（x）满足?x∈R，f(x)≥0，f(x+1)=

7-f2(x)

?f²（x+1）+f²（x）=7?f2(1-

3

)=7-f2(2-

3

)   又f(2-

3

 )=4-

3

  所以f(1-

3

)=

7-f2(2- 3 )

 =

2

．
故答案为：

2

．

点评：此题考查了分段的函数求值，函数的周期，还考查了学生的计算能力．