题目内容

已知定义在R上的函数f(x)满足:①对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y).②当x>0时,f(x)<0且f(1)=-2.两个条件,
(1)求证:f(0)=0;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)判断函数f(x)的单调性;
(4)解不等式f(x2-2x)-f(x)≥-8.
分析:(1)令x=y=0,可得f(0)的值;
(2)令y=-x,可得f(x)与f(-x)的关系,知f(x)的奇偶性;
(3)用定义判定f(x)的单调性;
(4)利用f(x)的单调性与奇偶性化简不等式f(x2-2x)-f(x)≥-8,再求出解集.
解答:解:(1)证明:∵对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),
∴令x=y=0,则有f(0)=f(0)+f(0);
∴f(0)=0;
(2)令y=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)是定义域R上的奇函数;
(3)任取x1,x2∈R,设x1<x2
则有f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x1)>f(x2);
∴f(x)是R上的减函数;
(4)∵f(x2-2x)-f(x)=f(x2-2x)+f(-x)=f(x2-3x)≥-8,
又-8=4f(1)=f(4),即f(x2-3x)≥f(4);
且f(x)是R上的减函数;
∴x2-3x≤4,
解得-1≤x≤4;
∴不等式的解集为{x|-1≤x≤4}.
点评:本题考查了函数的单调性与奇偶性的判定以及应用问题,是中档题题.
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