题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中已知椭圆
过点
，其左、右焦点分别为
，离心率为
.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B分别为椭圆E的左、右顶点，动点M满足
，且MA交椭圆E于点P.
（i）求证：
为定值；
（ii）设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，问：直线MQ是否过定点，并说明理由.
【答案】(1) 
(2) （i）证明见解析，定值为4 （ii）直线
过定点
.
【解析】
（1）由题意得离心率公式和点满足的方程，结合椭圆的
的关系，可得
，进而得到椭圆方程；
（2）（i）设
，求得直线MA的方程，代入椭圆方程，解得点P的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；
（ii）直线MQ过定点O（0，0）．先求得PB的斜率，再由圆的性质可得MQ⊥PB，求出MQ的斜率，再求直线MQ的方程，即可得到定点．
解：（1）易得
且
，
解得
所以椭圆E的方程为
（2）设，
①易得直线
的方程为：
，
代入椭圆得，
，
由
得，
，从而
，
所以示
，
②直线过定点，理由如下：
依题意，
，
由
得，
，
则的方程为：
，即
，
所以直线过定点.
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