题目内容
【题目】已知正项数列的前
项和为
,且
.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,数列
的前
项和为
,求
的取值范围;
(3)若,从数列
中抽出部分项(奇数项与偶数项均不少于两项),将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时,求所有满足条件的等差数列.
【答案】(1)(2)
;
(3)
,
,
,
,
和
,
,
,
,
.
【解析】
(1)利用,求得数列
的通项公式.
(2)由(1)求得的表达式,然后利用裂项求和法求得
的前
项和
.利用差比较法证得数列
递增,进而求得
的取值范围.
(3)先判断出数列的奇数项均为奇数,偶数项均为偶数.然后假设抽出的数列中有三个偶数,推出矛盾,由此证得偶数只有两项.进而证得奇数最多有
项.由此求得所有满足条件的等差数列.
(1)当时,由
,得
,得
,
由,得
,两式相减,得
,即
,即
因为数列各项均为正数,所以
,所以
所以数列是以
为首项,
为公差的等差数列.
因此,,即数列
的通项公式为
.
(2)由(1)知,所以
所以
所以
令,则
所以是单调递增数列,数列
递增,
所以,又
,所以
的取值范围为
.
(3)
设奇数项取了项,偶数项取了
项,其中
,
,
,
.
因为数列的奇数项均为奇数,偶数项均为偶数,因此,若抽出的项按照某种顺序构成等差数列,则该数列中相邻的项必定一个是奇数,一个是偶数.
假设抽出的数列中有三个偶数,则每两个相邻偶数的等差中项为奇数.
设抽出的三个偶数从小到大依次为,
,
,
则为奇数,而
,
,则
为偶数,
为奇数,所以
.
又为奇数,而
,
,则
与
均为偶数,矛盾。
又因为,所以
,即偶数只有两项,
则奇数最多有项,即
的最大值为
.
设此等差数列为,
,
,
,
,则
,
,
为奇数,
,
为偶数,且
.
由,得
,
,此数列为
,
,
,
,
.
同理,若从大到小排列,此数列为,
,
,
,
.
综上,当等差数列的项数最大时,满足条件的数列为,
,
,
,
和
,
,
,
,
.
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