题目内容
19.已知动直线l:y=kx+k恒过椭圆E:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的一个顶点A,顶点B与A关于坐标原点O对称,该椭圆的一个焦点F满足∠FAB=30°.(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)如果点C满足3$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$,当k=$\frac{2}{3}$时,记直线l与椭圆E的另一个公共点为P,求∠BPC平分线所在直线的方程.
分析 (Ⅰ)先求出b,再利用求∠FAB=30°,求出c,可得a,即可求出椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)当k=$\frac{2}{3}$时,将直线l:y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$与椭圆E的方程联立并整理得2x2+x-1=0,求出P,B,C的坐标,可得直线PB,PC的方程,利用Q到PB,PC的距离相等,求出Q的坐标,即可求出求∠BPC平分线所在直线的方程.
解答 解:(Ⅰ)由题意,A(-1,0),所以b=1,
因为tan∠FAB=$\frac{c}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
所以c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
所以a2=$\frac{4}{3}$,
所以椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{4}{3}}+{y}^{2}=1$;
(Ⅱ)当k=$\frac{2}{3}$时,将直线l:y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$与椭圆E的方程联立并整理得2x2+x-1=0,
所以P的横坐标为$\frac{1}{2}$,即P($\frac{1}{2}$,1).
因为B(1,0),3$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$=0,
所以C(-1.5,0),
所以直线PB的方程为2x+y-2=0,直线PC的方程为x-2y+1.5=0.
令Q(t,0)为∠BPC平分线与x轴的交点,则Q到PB,PC的距离相等,即$\frac{|2t-2|}{\sqrt{5}}=\frac{|t+1.5|}{\sqrt{5}}$,
所以t=$\frac{1}{6}$或t=$\frac{7}{2}$.
考虑到Q在B,C之间,则t=$\frac{1}{6}$,即Q($\frac{1}{6}$,0),
所以∠BPC平分线所在直线的方程为6x-2y-1=0.
点评 本题考查椭圆的方程与性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查直线方程,考查学生的计算能力,属于中档题.
分组 | 50-60 | 60-70 | 70-80 | 80-90 | 90-100 | 合计 |
频数 | 1 | b | 18 | c | 4 | 50 |
频率 | a | 0.24 | 0.36 | d | e | 1 |
(2)作出频率分布直方图,并估算成绩的中位数.
A. | [$\frac{1}{3}$,$\frac{4}{3}$] | B. | [-$\frac{4}{3}$,-$\frac{1}{3}$] | C. | [$\frac{3}{4}$,3] | D. | [-3,-$\frac{3}{4}$] |