Question

【题目】已知双曲线x2﹣2y2=2的左、右两个焦点为F1、F2 ， 动点P满足|PF1|+|PF2|=4．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）设过F2且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A，B两点，问：线段OF2上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：双曲线的方程可化为 ﹣y2=1，

则|F1F2|=2 ，

|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|=2 ，

由椭圆的定义可得P点的轨迹E是以F1、F2为焦点，长轴为4的椭圆

由a=2，c= ，可得b= =1，

可得所求轨迹E的方程为 +y2=1

（2）解：线段OF2上假设存在一点D（m，0）（0≤m≤ ），

使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形．

设l的方程为y=k（x﹣ ），则k≠0，

代入椭圆方程可得（1+4k2）x2﹣8 k2x+12k2﹣4=0，

设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2= ，

∴y1+y2=k（x1+x2﹣2 ）= ，

∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，

∴（ + ）⊥ ，

由 + =（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2）=（ ﹣2m， ），

的方向向量为（1，k），

（ + ） =0） ﹣2m+ k=0，

即m= = ﹣ ，

由k2＞0，可得0＜m＜ ＜ ，即0＜m＜ ．

故存在满足条件的点D

【解析】（1）求得双曲线的焦距，因为动点P满足|PF1|+|PF2|=4，利用椭圆定义，可知动点P的轨迹为椭圆，且该椭圆以F1、F2为焦点，长轴为4，从而可求椭圆方程；（2）线段OF2上假设存在一点D（m，0）（0≤m≤ ），设l的方程为y=k（x﹣ ），则k≠0，代入椭圆方程，可得x的方程，运用韦达定理，以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，可得（ + ）⊥ ，分别求得（ + ）的坐标， 的方向向量，运用数量积为0，求出m的表达式，求得范围，即可判断存在性．