Question

17．求如图，SA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，SC⊥平面AEFG．求证：
（1）AE⊥SB；
（2）GE⊥平面SAC．

Answer 1

分析 （1）由SA⊥BC，BC⊥AB，可证BC⊥平面SAB，即得BC⊥AE，由SC⊥AE可证AE⊥平面SBC，即可证明AE⊥SB；
（2）由（1）AE⊥平面SBC，AE⊥EF，同理可证AG⊥GF，证明AF⊥GE．又可证SC⊥EG．从而得证．

解答 证明：（1）∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥BC，
又∵BC⊥BA，
∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥AE，
又∵SC⊥截面AEFG，
∴SC⊥AE，
∴AE⊥平面SBC
∴AE⊥SB；
（2）由（1）AE⊥平面SBC，AE⊥EF，
同理可证AG⊥GF，
∴A，E，F，G四点在以AF为直径的圆上，
∵△SAB≌△SAD，AE和AG都是RT三角形斜边的高，
∴AE=AG，
又∵AF=AF，∠AGF=∠AEF=90°，
∴△AEF≌△AGF，
∴AF是角平分线，即AF是等腰△AGE的高．
∴GE⊥AF．
又∵SC⊥平面AEFG．
∴SC⊥EG．
∵AF∩SC=F
∴GE⊥平面SAC．

点评 本小题主要考查空间线面关系，直线与平面垂直的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．