Question

5．F₁、F₂是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点，直线l：y=2x+5与椭圆C交于P₁，P₂，已知椭圆中心O关于直线l的对称点恰好落在椭圆C的左准线上，且|P₂F₂|-|P₁F₁|=$\frac{10a}{9}$，则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 求出椭圆C的中心关于直线l的对称点的坐标，即可求椭圆C的左准线方程，得到$-\frac{{a}^{2}}{c}=-4$，再把y=2x+5代入椭圆方程，利用韦达定理，结合|P₂F₂|-|P₁F₁|=$\frac{10a}{9}$，求出a，b，c的另一等式，再结合隐含条件即可求椭圆C的方程．

解答 解：设对称点为（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{2•\frac{y}{x}=-1}\\{\frac{y}{2}=2•\frac{x}{2}+5}\end{array}\right.$，解得x=-4，y=2，
∴椭圆C的左准线方程为x=-4，即$-\frac{{a}^{2}}{c}=-4$ ①．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{y=2x+5}\end{array}\right.$，得（4a²+b²）x²+20a²x+25a²-a²b²=0．
设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{20{a}^{2}}{4{a}^{2}+{b}^{2}}$，
由焦半径公式可得：|P₂F₂|=a-ex₂，|P₁F₁|=a+ex₁，
∴|P₂F₂|-|P₁F₁|=a-ex₂-a-ex₁=-e（x₁+x₂）=$-\frac{c}{a}•（-\frac{20{a}^{2}}{4{a}^{2}+{b}^{2}}）$=$\frac{10a}{9}$ ②．
又a²=b²+c² ③．
联立①②③解得：a²=8，b²=4．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，训练了椭圆焦半径公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．