Question

8．求函数y=sin²x•cosx的最大值．

Answer 1

分析 设cosx=t，则 函数y=t-t³，t∈[-1，1]．再利用导数求得函数的极值，求出函数的端点值，综合可得函数的在闭区间上的最大值．

解答 解：y=sin²x•cosx=（1-cos²x）cosx=cosx-cos³x，设cosx=t，则 函数y=t-t³，t∈[-1，1]．
令y′=1-3t²=0，求得t=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上，y′＞0，函数y为增函数；
在（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）、（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]上，y′＜0，函数y为减函数，
故函数的极大值为f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，极小值为f（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
再根据f（-1）=0，f（1）=0，可得函数y=t-t³在[-1 1]上的最大值为f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，利用导数求函数的极值，求函数在闭区间上的最值，属于中档题．