题目内容

4.设函数y=x•f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则不等式f(${\sqrt{x+1}}$)>$\sqrt{x-1}$•f(${\sqrt{{x^2}-1}}$)的解集为[1,2).

分析 根据函数的单调性将不等式进行变形即可得到结论.

解答 解:不等式f(${\sqrt{x+1}}$)>$\sqrt{x-1}$•f(${\sqrt{{x^2}-1}}$)等价为:
${\sqrt{x+1}}$•f(${\sqrt{x+1}}$)>$\sqrt{x-1}$•${\sqrt{x+1}}$•f(${\sqrt{{x^2}-1}}$),
即${\sqrt{x+1}}$•f(${\sqrt{x+1}}$)>${\sqrt{{x^2}-1}}$•f(${\sqrt{{x^2}-1}}$),
设g(x)=x•f(x),
则g(${\sqrt{x+1}}$)>g(${\sqrt{{x^2}-1}}$),
∵函数y=x•f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
∴不等式等价为$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{x-1≥0}\\{x^2-1≥0}\\{\sqrt{x+1}>\sqrt{{x}^{2}-1}}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{x≥1}\\{x≥1或x≤-1}\\{x+1>{x}^{2}-1}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x^2-x-2<0}\end{array}\right.$,
则$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{-1<x<2}\end{array}\right.$,
解得1≤x<2,
故不等式的解集为[1,2),
故答案为:[1,2).

点评 本题主要考查不等式的求解,根据函数单调性,将不等式进行等价转化是解决本题的关键.

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