Question

【题目】已知F为抛物线C：y2=2px（P＞0）的焦点，过F垂直于x轴的直线被C截得的弦的长度为4．

（1）求抛物线C的方程．

（2）过点（m，0），且斜率为1的直线被抛物线C截得的弦为AB，若点F在以AB为直径的圆内，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y2=4x （2）．

【解析】

（1）可得2p=4，从而可得抛物线C的方程，

（2）直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，利用＜0，即可求得m的取值范围．

解：（1）由条件得2p=4，∴抛物线C的方程为y2=4x，

（2）设直线方程为y=x-m，代入y2=4x得y2-4y+4m=0，△=16-16m＞0，m<1．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4，y1y2=4m

∵F（1，0），∴=（x1-1，y1），=（x2-1，y2），

∵点F在以AB为直径的圆内，∴∠AFB为钝角，即＜0，

（x1-1）（x2-1）+y1y2＜0，

即x1x2-（x1+x2）+1+4m＜0，

∴-[（y1+y2）+2m]+1+4m＜0，

∴m2+2m-3＜0，

解得．