题目内容
设F1，F2分别是椭圆
+y2=1的左右焦点，过左焦点F1作直线l与椭圆交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）若OA⊥OB，求AB的长；
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点M，使得
•
为常数？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由．
| x2 |
| 4 |
（Ⅰ）若OA⊥OB，求AB的长；
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点M，使得
| MA |
| MB |
（Ⅰ）当直线l与x轴垂直时，A(-
，
)，B(-
，-
)，此时OA与OB不垂直．（2分）
当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x+
)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与椭圆的方程
，整理得(4k2+1)x2+8
k2x+12k2-4=0（4分）x1+x2=
，x1x2=
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0x1x2+k2(x1+
)(x2+
)=x1x2+k2x1x2+
k2(x1+x2)+3k2=0
k2•
+(1+k2)•
+3k2=0
解得k2=
（6分）
∴|AB|=
|x1-x2|=
（8分）
（Ⅱ）设M（m，0）为x轴上一点
（12分）
若
•
为定值，则有
=
，解得m=-
所以存在点M(-
， 0)使得
•
为定值．（14分）
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x+
| 3 |
联立直线与椭圆的方程
|
| 3 |
-8
| ||
| 4k2+1 |
| 12k2-4 |
| 4k2+1 |
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0x1x2+k2(x1+
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
-8
| ||
| 4k2+1 |
| 12k2-4 |
| 4k2+1 |
解得k2=
| 4 |
| 11 |
∴|AB|=
| 1+k2 |
| 20 |
| 9 |
（Ⅱ）设M（m，0）为x轴上一点
|
若
| MA |
| MB |
4m2+8
| ||
| m2-4 |
| 4 |
| 1 |
9
| ||
| 8 |
所以存在点M(-
9
| ||
| 8 |
| MA |
| MB |
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