题目内容
【题目】已知椭圆C： 
+ 
=1（a＞b＞0）经过点（ 
，1），以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得 
恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：由圆的方程x2+y2=b2，由椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点，则b=c，
∴a2=2b2，
将（ 
，1）代入椭圆方程 
，解得：b2=2，则a2=4，
∴椭圆的标准方程： 
；
（2）
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），
当直线k的斜率存在，设直线l的方程为：y=k（x+1），
则 
，整理得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣4=0，
∴x1+x2=﹣ 
，x1x2= 
，
则y1y2=k（x1+1）×k（x2+1）=k2（x1x2+x1+x2+1）=k2（ ﹣ +1）=﹣ 
，
=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=[ ﹣m×（﹣ ）+m2]+（﹣ ），
= 
= 
为定值，
则 
= 
，解得：m=﹣ 
，
则 =﹣ 
，
当直线l的斜率k不存在时，点A（﹣1， 
），B（﹣1，﹣ 
），
此时，当m=﹣ 时，则 =（﹣1﹣m）（﹣1﹣m）﹣ 
=﹣ ，
综上可知：存在点M（﹣ ，0），使得 =﹣ ．
【解析】（1）由题意可知：b=c，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，由 恒为定值即可求得m的值，求得 的值及M点坐标；当直线l的斜率k不存在时，点A（﹣1， ），B（﹣1，﹣ ），则m=﹣ 时，求得 的值及M点坐标．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
才能正确解答此题．
