题目内容
【题目】已知四棱锥
的底面是直角梯形，
，
，且
，
，
为
的中点.
求证：
；
求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】
证明见解析；
.
【解析】
利用勾股定理，线面垂直的判定定理和性质求证即可.
以
为原点，分别以
，
所在直线为
轴，
轴，过点且与
平行的直线为
轴建立空间直角坐标系
，设平面
的一个法向量为
，进而求出
，设直线
与平面
所成角为
，即可利用公式求出直线与平面所成角的正弦值.
解：因为
，
所以
，
又
为
的中点，
所以
，
，
连接
，在
中，
为的中点，
所以
.
因为
，
所以
，
又
，
所以
平面
.
又
平面，
所以
.
如图，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，过点且与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
.
设平面的一个法向量为
，
由
，得
令
，可得.
设直线与平面所成角为，
则
.
即直线与平面所成角的正弦值为.
【题目】如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.
市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了
人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过
元）：
消费金额（单位：百元） |
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频数 |
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由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额
（单位：元）近似地服从正态分布
，其中
近似为样本平均数
（每组数据取区间的中点值，
）.现从该市任取
名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在
元至
元之间的人数为
，求的数学期望；
市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第
格、第
格、第
格、…、第
格共
个方格.棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是
，其中
），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从
到
），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到
）.重复多次，若这枚棋子最终停在第
格，则认为“闯关成功”，并赠送
元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.
①设棋子移到第
格的概率为
，求证：当
时，
是等比数列；
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.
参考数据：若随机变量
服从正态分布，则
，
，
.
