Question

【题目】已知函数.

（1）若，且，求证：；

（2）若时，恒有，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）利用导数分析函数的单调性，并设，则，，将不等式等价转化为证明，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，通过推导出来证得结论；

（2）构造函数，对实数分、、，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值，再通过构造新函数，利用导数求出函数的最大值，可得出的最大值.

（1），，所以，函数单调递增，

所以，当时，，此时，函数单调递减；

当时，，此时，函数单调递增.

要证，即证.

不妨设，则，，

下证，即证，

构造函数，

，所以，函数在区间上单调递增，

，，即，即，

，且函数在区间上单调递增，

所以，即，故结论成立；

（2）由恒成立，得恒成立，

令，则.

①当时，对任意的，，函数在上单调递增，

当时，，不符合题意；

②当时，；

③当时，令，得，此时，函数单调递增；

令，得，此时，函数单调递减.

.

.

令，设，则.

当时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减.

所以，函数在处取得最大值，即.

因此，的最大值为.