题目内容
【题目】已知函数,任取
,若函数
在区间
上的最大值为
,最小值为
,记
.
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程;
(2)当时,求函数
的解析式;
(3)设函数,
,其中
为参数,且满足关于
的不等式
有解,若对任意
,存在
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
(
); (2)
. (3)
.
【解析】
(1)根据正弦型函数的解析式求出它的最小正周期和对称轴方程;(2)分类讨论
、
、
时,求出对应函数
的解析式;(3)根据
的最小正周期求出函数
的最小正周期,研究函数
在一个周期内的性质,求出
的解析式,画出
的部分函数图像,求出值域,利用不等式
求出k的取值范围,再把“若对任意
,存在
,使得
成立”转化为“
在
上的值域是
在
上的值域的子集”,从而求出k的取值范围.
(1)函数的最小正周期为
,
令,解得对称轴为
;
(2)①当时,在区间
上,
,
,所以
②当时,在区间
上,
,
,所以
,
③当时,在区间
上,
,
,所以
,
所以当时,
;
(3)因为函数的最小正周期为4,所以
,所以
即函数
的周期为4,
由(2)可得,画出函数
的部分图像如图所示,函数
的值域为
,
已知有解,即
,则
,
若对任意,存在
,使得
成立,
则在
上的值域是
在
上的值域的子集,
,当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,所以
,
因为在
上单调递增,所以
,
所以,即
.
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