Question

【题目】已知椭圆．

（1）若椭圆的离心率为，求的值；

（2）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在轴上是否存在点，使得， 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

试题（Ⅰ）椭圆的离心率 求解；（Ⅱ）若满足,则直线的斜率之和 ，那么设直线方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，代入 ，利用和恒为0的条件，求得定点.

试题解析： （Ⅰ）因为，，所以.又有，得.

（Ⅱ）若存在点，使得，则直线和的斜率存在，分别设为，且满足.依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为.由，得.因为直线与椭圆有两个交点，所以.即，解得.设，，则，，，.令，，，当时，，所以，化简得，，所以.当时，检验也成立.所以存在点，使得.