题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若函数
在
处的切线斜率为2，试求a的值及此时的切线方程；
（2）若函数在区间
（其中
…为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
，
；（2）
或
.
【解析】
（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）讨论参数
的值，确定函数
在区间
的单调性，从而根据零点的个数，得出实数a的取值范围.
（1）由
，（
）.
由已知
.
可得：
又此时
.
所以所求的切线方程为：
.
即：
（2），其中
①当
时，
在区间恒成立，
在区间单调递增
又∵
，∴函数在区间上有唯一的零点，符合题意.
②当
时，
在区间恒成立，在区间单调递减
又∵，∴函数在区间上有唯一的零点，符合题意.
③当
时
（i）
时，
，单调递减
又∵，
，∴函数在区间
上有唯一的零点
（ii）当
时，
，单调递增
∴要使在区间上有唯一的零点，只有当
时符合题意
即
，即
∴
时，函数在区间上有唯一的零点；
∴综上a的取值范围是或.
【题目】近几年，电商行业的蓬勃发展带动了快递业的迅速增长，快递公司揽收价格一般是采用“首重+续重”的计价方式.首重是指最低的计费重量，续重是指超过首重部分的计费重量，不满一公斤按一公斤计费.某快递网点将快件的揽收价格定为首重（不超过一公斤）8元，续重2元/公斤（例如，若一个快件的重量是0.6公斤，按8元计费；若一个快件的重量是1.4公斤，按
元
元
元计费）.根据历史数据，得到该网点揽收快件重量的频率分布直方图如下图所示
（1）根据样本估计总体的思想，将频率视作概率，求该网点揽收快件的平均价格；
（2）为了获得更大的利润，该网点对“一天中收发一件快递的平均成本
（单位：元）与当天揽收的快递件数
（单位：百件）
之间的关系”进行调查研究，得到相关数据如下表：
每天揽收快递件数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
每件快递的平均成本 | 5.6 | 4.8 | 4.4 | 4.3 | 4.1 |
根据以上数据，技术人员分别根据甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程：
方程甲：
，方程乙：
.
①为了评价两种模型的拟合效果，根据上表数据和相应回归方程，将以下表格填写完整（结果保留一位小数），分别计算模型甲与模型乙的残差平方和
，
，并依此判断哪个模型的拟合效果更好（备注：
称为相应于点
的残差，残差平方和
；
每天揽收快递件数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
每天快递的平均成本 | 5.6 | 4.8 | 4.4 | 4.3 | 4.1 | |
模型甲 | 预报值 | 5.2 | 5.0 | 4.8 | ||
残差 |
| 0.2 | 0.4 | |||
模型乙 | 预报值 | 5.5 | 4.8 | 4.5 | ||
预报值 |
| 0 | 0.1 | |||
②预计该网点今年6月25日（端午节）一天可以揽收1000件快递，试根据①中确定的拟合效果较好的回归模型估计该网点当天的总利润（总利润=（平均价格-平均成本）×总件数）.
