题目内容

【题目】已知函数.

1)若函数处的切线斜率为2,试求a的值及此时的切线方程;

2)若函数在区间(其中为自然对数的底数)上有唯一的零点,求实数a的取值范围.

【答案】1;(2.

【解析】

1)根据导数的几何意义求解即可;

2)讨论参数的值,确定函数在区间的单调性,从而根据零点的个数,得出实数a的取值范围.

1)由,(.

由已知.

可得:

又此时.

所以所求的切线方程为:.

即:

2,其中

①当时,在区间恒成立,在区间单调递增

又∵,∴函数在区间上有唯一的零点,符合题意.

②当时,在区间恒成立,在区间单调递减

又∵,∴函数在区间上有唯一的零点,符合题意.

③当

i时,单调递减

又∵,∴函数在区间上有唯一的零点

ii)当时,单调递增

∴要使在区间上有唯一的零点,只有当时符合题意

,即

时,函数在区间上有唯一的零点;

∴综上a的取值范围是.

练习册系列答案
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【题目】近几年,电商行业的蓬勃发展带动了快递业的迅速增长,快递公司揽收价格一般是采用“首重+续重”的计价方式.首重是指最低的计费重量,续重是指超过首重部分的计费重量,不满一公斤按一公斤计费.某快递网点将快件的揽收价格定为首重(不超过一公斤)8元,续重2/公斤(例如,若一个快件的重量是0.6公斤,按8元计费;若一个快件的重量是1.4公斤,按元计费).根据历史数据,得到该网点揽收快件重量的频率分布直方图如下图所示

1)根据样本估计总体的思想,将频率视作概率,求该网点揽收快件的平均价格;

2)为了获得更大的利润,该网点对“一天中收发一件快递的平均成本(单位:元)与当天揽收的快递件数(单位:百件)之间的关系”进行调查研究,得到相关数据如下表:

每天揽收快递件数(百件)

2

3

4

5

8

每件快递的平均成本(元)

5.6

4.8

4.4

4.3

4.1

根据以上数据,技术人员分别根据甲、乙两种不同的回归模型,得到两个回归方程:

方程甲:,方程乙:.

①为了评价两种模型的拟合效果,根据上表数据和相应回归方程,将以下表格填写完整(结果保留一位小数),分别计算模型甲与模型乙的残差平方和,并依此判断哪个模型的拟合效果更好(备注:称为相应于点的残差,残差平方和

每天揽收快递件数/百件

2

3

4

5

8

每天快递的平均成本/

5.6

4.8

4.4

4.3

4.1

模型甲

预报值

5.2

5.0

4.8

残差

0.2

0.4

模型乙

预报值

5.5

4.8

4.5

预报值

0

0.1

②预计该网点今年625日(端午节)一天可以揽收1000件快递,试根据①中确定的拟合效果较好的回归模型估计该网点当天的总利润(总利润=(平均价格-平均成本)×总件数).

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