Question

在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：.

Answer 1

（1）a_n＝n＋1；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、等比中项、放缩法、数列的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先用等比中项的定义将数学语言转化为数学表达式，再用等差数列的通项公式将已知的所有表达式都用和展开，解方程组解出基本量和，利用等差数列的通项公式写出数列的通项公式；第二问，先利用单调性的定义，利用来判断数列单调递增，所以最小值为，从而证明，再利用放缩法证明.
试题解析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d．由已知得
，
注意到d≠0，解得a₁＝2，d＝1．
所以a_n＝n＋1．             4分
（2）由（1）可知
，，
因为，
所以数列{b_n}单调递增．           8分
．             9分
又，
因此．              12分