Question

4．在△ABC中，已知BC=2，$\frac{AB}{AC}$=$\frac{3}{4}$，sinC=$\frac{3\sqrt{15}}{16}$，求BC边上的中线AD的长．

Answer 1

分析 首先利用余弦定理求出AC和AB的长度，然后在△ACD中利用余弦定理求出AD的长度．

解答 解：因为sinC=$\frac{3\sqrt{15}}{16}$，C是三角形的内角，所以cosC=$\frac{11}{16}$，设AB=3x，AC=4x，3x+4x＞2，则$\frac{2}{7}$＜x＜2，
所以由余弦定理得到16x²+4-16x×$\frac{11}{16}$=9x²，解得x=1或x=$\frac{4}{7}$，
所以AB=3，AC=4或者AB=$\frac{3}{7}$，AC=$\frac{16}{7}$；
当AC=4时，在△ACD中，AD²=AC²+CD²-2AC×CDcosC=16+1-$\frac{11}{2}$=$\frac{23}{2}$，所以AD=$\frac{\sqrt{46}}{2}$；
当AC=$\frac{16}{7}$时，在△ACD中，AD²=AC²+CD²-2AC×CDcosC=$\frac{16}{49}+1-2×\frac{4}{7}×1×\frac{11}{16}$=$\frac{151}{49}$，所以AD=$\frac{\sqrt{151}}{7}$．

点评 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，关键是熟练运用余弦定理．