题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，过点
且互相垂直的两条直线分别与圆
交于点A，B，与圆
交于点C，D．
(1) 若AB＝
，求CD的长；
(2)若直线
斜率为2，求
的面积；
(3) 若CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．
【答案】(1) 
(2) 
(3) 
.
【解析】
（1）分析直线斜率是否存在，当斜率存在时，利用圆中半弦长，半径，弦心距构成直角三角形求解即可（2）直线
斜率为2，则直线方程为
，求出弦长，点M到直线的距离,利用三角形面积公式求解即可（3）表示出△ABE的面积S＝
AB·d＝2
，令
，换元后根据二次函数求最值即可.
(1) 由题可知，直线AB斜率显然存在，设为k，则直线AB：y＝kx＋1.
因为O点到直线AB的距离d1＝
，
∴
+
＝4，
∴AB＝2
由2＝
得k2＝15.
因为直线AB与直线CD互相垂直，则直线CD：y＝
x＋1，
∴M点到直线CD的距离d2＝
，
∴
＝1－
，CD＝2
＝2
＝.
(2) 直线斜率为2，则直线方程为
到直线距离为
到直线距离为
(3)当直线AB的斜率不存在时，△ABE的面积S＝×4×2＝4；
当直线AB的斜率存在时，设为k，则直线AB：y＝kx＋1，k≠0，直线CD：y＝－
x＋1.
由
<1得k2>3， 所以k∈(－∞，－)∪(，＋∞)．
因为＋＝4，所以AB＝2.
因为E点到直线AB的距离即M点到直线AB的距离d＝
＝
，
所以△ABE的面积S＝AB·d＝2.
令，则S＝
∈
.
综上，△ABE面积的取值范围是.
【题目】某气象站观测点记录的连续4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位cm）的情况如下表1：
M | 900 | 700 | 300 | 100 |
y | 0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
哈尔滨市某月AQI指数频数分布如下表2：
M | [0，200] | （200，400] | （400，600] | （600，800] | （800，1000] |
频数 | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
（1）设x= 
，根据表1的数据，求出y关于x的回归方程； （参考公式： 
；其中 
， 
）
（2）小张开了一家洗车店，经统计，当M不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入．
