Question

【题目】[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=log ( |x + 1| + |x- 1|- a ).

(I)当a=3时，求函数f(x)的定义域;

(Ⅱ)若不等式f（x）的解集为R，求实数a的最大值.

Answer 1

【答案】（1）{x|x<-或x>}.（2）-2

【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将绝对值不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式可得|x+1|+|x-1|最小值，再解不等式可得实数a的范围，即得a的最大值.

试题解析：解:(I)当a=3时,函数f(x)=log (|x+1|+|x-1|-a)=log (|x+1|+|x-1|-3),

∴|x+1|+|x-1|-3>0,即|x+1|+|x-1|>3

∴或或.

解得x<-或x>.

故函数的定义域为{x|x<-或x>}.

(Ⅱ)若不等式f(x)≥2的解集为R,则f(x)≥2恒成立.

故|x+1|+|x-1|-a≥4恒成立.

∵|x+1|+|x-1|≥|x+1-(x-1)|=2,(当且仅当-1≤x≤1时,取“=”)

∴2-a≥4,故有a≤-2,故实数a的最大值为-2.