题目内容

球面上有三点A、B、C,任意两点之间的球面距离都等于球大圆周长的四分之一,且过这三点的截面圆的面积为4π,则此球的体积为(  )
A、4
6
π
B、4
3
π
C、8
3
π
D、8
6
π
分析:因为正三角形ABC的外径r=2,故可以得到高,D是BC的中点.在△OBC中,又可以得到角以及边与R的关系,在Rt△ABD中,再利用直角三角形的勾股定理,即可解出R,最后利用体积公式求出球的体积即可.
解答:解:因为正三角形ABC的外径r=2,故高AD=
3
2
r=3,D是BC的中点.
在△OBC中,BO=CO=R,∠BOC=
π
2
,所以BC=BO=
2
R,BD=
1
2
BC=
2
2
R.
在Rt△ABD中,AB=BC=
2
R,所以由AB2=BD2+AD2,得2R2=
1
2
R2+9,所以R=
6

∴V=
3
(
6
)
3
=8
6

故选D.
点评:本题考查学生的空间想象能力,以及对球的性质认识及利用,球的体积和表面积是常考的题型,是基础题.
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