Question

表面积为16π的球面上有三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=

3

，则球心到截面ABC的距离及B、C两点间球面距离最大值分别为（　　）

• A、3，

  2π

  3

• B、

  3

  ，

  π

  3

• C、

  3

  ，

  2π

  3

• D、3，

  π

  3

Answer 1

分析：设出AD，然后通过球的直径求出AD，解出∠AOB，可求A，B两点的球面距离．

解答：解：根据题意画出示意图，如图．
表面积为16π的球的半径R=2，
设△ABC所在小圆的半径为r，
在△ABC中，由正弦定理得：
2r=

AB

sin∠ACB

=

3

sin60°

=2，r=1
∴在直角三角形AOQ中，
OQ=

OA2-AQ2

=

4-1

=

3

，
则球心到截面ABC的距离为：

3

；
当点C在BQ的延长线上时，B、C两点间球面距离最大，
在直角三角形BOQ中，BO=2，BQ=1，
∴∠BOQ=30°，
∴B、C两点间球面距离最大值为：∠BOC×R=

π

3

×2=

2π

3

．
故选C．

点评：本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球面上的点的距离求解，是中档题．球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆） 我们把这个弧长叫做两点的球面距离．