题目内容

(2009•烟台二模)设非负实数x、y满足不等式组
2x+y-4≤0
x+y-3≤0

(1)如图在所给的坐标系中,画出不等式组所表示的平面区域;
(2)求k=x+3y的取值范围;
(3)在不等式组所表示的平面区域内,求点(x,y)落在x∈[1,2]区域内的概率.
分析:(1)先根据约束条件非负实数x、y满足不等式组
2x+y-4≤0
x+y-3≤0
画出可行域;
(2)再利用几何意义求最值,只需求出直线k=x+3y过点A点或B点时,z取得最值即可;
(3)根据不等式组画出平面区域,求出区域的面积,以及落在x∈[1,2]区域内的面积,最后利用几何概型的概率公式解之即可.
解答:解:(1)不等式组
2x+y-4≤0
x+y-3≤0
x≥0
y≥0
所表示的平面区域,如下图示:
(2)当直线k=x+3y过点(0,0)时,k最小值为0.
当直线k=x+3y过点A(0,3)时,k最大值为9.
故k=x+3y的取值范围为:[0,9].
(3)面积S=
1
2
×(3+2)×1+
1
2
×2×1=
7
2

其中落在x∈[1,2]区域内的面积为1
故点(x,y)落在x∈[1,2]区域内的概率P=
1
7
2
=
2
7
点评:本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题,考查了二元一次不等式(组)与平面区域,以及几何概型的概率,同时考查了画图能力,属于中档题.
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