Question

（2009•烟台二模）已知函数f（x）=g^x-x （g为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）设不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|

1

2

≤x≤2}，且M∩P≠∅，求实数a的取值范围；
（3）已知n∈N⁺，且S n=

∫

n 0

f(x)dx，是否存在等差数列{a_n}和首项为f（1）公比大于0的等比数列{b_n}，使得Sn=

n

k=1

(ak+bk)？若存在，请求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由导数法先求极值，即可得最值；
（2）把问题转化为求函数F（x）=

gx

x

，x∈[

1

2

，2]的最大值的问题，由导数法可得答案；（3）结合等差数列和等比数列的和的特点，根据定积分所得的值，可得数列{a_n}，{b_n}的通项公式．

解答：解：（1）由题意可得f′（x）=g^x-1，令g^x-1=0，可得x=0，
并且当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
故在x=0处，函数f（x）取到唯一的极小值也是最小值f（0）=1
（2）由题意可得：不等式f（x）＞ax即为（a+1）x＜g^x，
若M={x|

1

2

≤x≤2}，且M∩P≠∅，则a+1＜

gx

x

在[

1

2

，2]的最大值，
令F（x）=

gx

x

，x∈[

1

2

，2]，则F′（x）=

gx(x-1)

x2

=0，解得x=1，
且当x∈（

1

2

，1），时，F′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，2）时，F′（x）＞0，f（x）单调递增，故F（x）在x=1处取到极小值，也是最小值e，
F（

1

2

）=2

g

，F（2）=

1

2

g2，而且2

g

＜

1

2

g2，故最大值为

1

2

g2，即a+1＜

1

2

g2，故a＜

1

2

g2-1
（3）S n=

∫

n 0

f(x)dx=（g^x-x）

|

n 0

=（gⁿ-n）-（g⁰-0）=gⁿ-n-1，
不妨取a_n=-1，b_n=（g-1）g^n-1，则有

n

k=1

(ak+bk)=a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+b_n=-n+

(g-1)(1-gn)

1-g

=gⁿ-n-1，故满足题意．

点评：本题为等差数列，等比数列和函数的极值以及定积分的综合应用，属中档题．