题目内容
【题目】已知椭圆的左焦点为
,离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设为坐标原点,
为直线
上一点,过
作
的垂线交椭圆于
、
.当四边形
是平行四边形时,求四边形
的面积.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)由焦点坐标和离心率及、
、
之间的关系求出
、
的值,进而可得椭圆
的标准方程;
(2)由题意设的坐标为
,由(1)得左焦点
的坐标,可得直线
的斜率,由题意可得
的方程,将直线
与椭圆
的方程联立求出两根之和,运用韦达定理求得
,再由四边形
是平行四边形,可得
,由此求出
的值,从而可得
的长,进而求出四边形
的面积.
(1)由已知得:,
,所以
,又
,解得
,
所以椭圆的标准方程为:
;
(2)设点的坐标为
,则直线
的斜率
,
当时,直线
的斜率
,直线
的方程是
;
当时,直线
的方程也符合
的形式.
由,得
(*),其判别式
,
设、
,则
,
,
因为四边形是平行四边形,所以
,即
,
所以,解得
,
此时,方程(*)为,得
,则
.
此时的面积
.
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