Question

9．在三棱锥ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为43π．

Answer 1

分析 分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段，由条件可知，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，求出球的半径，然后求出球的表面积．

解答 解：分别取AB，CD的中点E，F，
连接相应的线段CE，ED，EF，
由条件，AB=CD=6，BC=AC=AD=BD=5，可知，△ABC与△ADB，都是等腰三角形，
AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，
同理CD⊥EF，
∴EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，（△AGB≌△CGD）
DE=$\sqrt{25-9}$=4，DF=3，EF=$\sqrt{16-9}$=$\sqrt{7}$，
∴GF=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
球半径DG=$\sqrt{\frac{7}{4}+9}$=$\frac{\sqrt{43}}{2}$，
∴外接球的表面积为4π×DG²=43π，
故答案为：43π．

点评 本题考查球的内接几何体，球的表面积的求法，考查计算能力．