题目内容
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1=BC=2，且M是BC的中点，点N在CC1上．
（1）试确定点N的位置，使AB1⊥MN；
（2）当AB1⊥MN时，求二面角M-AB1-N的大小．
（1）试确定点N的位置，使AB1⊥MN；
（2）当AB1⊥MN时，求二面角M-AB1-N的大小．
（1）连接MA、B1M，过M作MN⊥B1M，且MN交CC1点N，
在正△ABC中，AM⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BB1C1C，
平面ABC∩平面BB1C1C=BC，
∴AM⊥平面BB1C1C，
∵MN?平面BB1C1C，
∴MN⊥AM．
∵AM∩B1M=M，
∴MN⊥平面AMB1，∴MN⊥AB1．
∵在Rt△B1BM与Rt△MCN中，
易知∠NMC=∠BB1M，
∴tan∠NMC=
，∴NC=tan∠BB1M=
，
即N为C1C四等分点（靠近点C）．
（2）过点M作ME⊥AB1，垂足为R，连接EN，
由（1）知MN⊥平面AMB1，
∴EN⊥AB1，
∴∠MEN为二面角M-AB1-N的平面角．
∵正三棱柱ABC-A1B1C1，BB1=BC=2，
∴AB1=2
，AM=
，B1M=
．
由AM⊥平面BC1，知AM⊥B1M．
在Rt△AMB1中，ME=
=
=
，
又MN=
=
，
故在Rt△EMN中，tan∠MEN=
=
，
故二面角M-AB1-N的大小为arctan
．
在正△ABC中，AM⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BB1C1C，
平面ABC∩平面BB1C1C=BC，
∴AM⊥平面BB1C1C，
∵MN?平面BB1C1C，
∴MN⊥AM．
∵AM∩B1M=M，
∴MN⊥平面AMB1，∴MN⊥AB1．
∵在Rt△B1BM与Rt△MCN中，
易知∠NMC=∠BB1M，
∴tan∠NMC=
| NC |
| MC |
| 1 |
| 2 |
即N为C1C四等分点（靠近点C）．
（2）过点M作ME⊥AB1，垂足为R，连接EN，
由（1）知MN⊥平面AMB1，
∴EN⊥AB1，
∴∠MEN为二面角M-AB1-N的平面角．
∵正三棱柱ABC-A1B1C1，BB1=BC=2，
∴AB1=2
| 2 |
| 3 |
| 5 |
由AM⊥平面BC1，知AM⊥B1M．
在Rt△AMB1中，ME=
| AM•B1M |
| AB1 |
| ||||
2
|
| ||
| 4 |
又MN=
1+(
|
| ||
| 2 |
故在Rt△EMN中，tan∠MEN=
| MN |
| ME |
| ||
| 3 |
故二面角M-AB1-N的大小为arctan
| ||
| 3 |
练习册系列答案
相关题目
的底面为菱形，
面
，且
，
,
分别是
的中点.
∥平面
；
作一平面交棱
于点
，若二面角
的大小为
，求
的值.
