题目内容

如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求二面角D-AB-C的正切值．
（1）证明：∵DC⊥BC，且平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴DC⊥平面ABC，
又AB?平面ABC，
∴DC⊥AB．…（5分）
（2）过C作CE⊥AB于E，连接ED，
∵AB⊥CD，AB⊥EC，CD∩EC=C，
∴AB⊥平面ECD，
又DE?平面ECD，∴AB⊥ED，
∴∠CED是二面角D-AB-C的平面角，…（9分）
设CD=a，则BC=
a
tan30°
=
3
a，
∵△ABC是正三角形，
∴EC=BCsin60°=
3a
2
，
在Rt△DEC中，tan∠DEC=
DC
EC
=
a
3a
2
=
2
3
．…（13分）
练习册系列答案
相关题目
已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每条棱长均为a，M为棱A1C1上的动点．
（1）当M在何处时，BC1∥平面MB1A，并证明之；
（2）在（1）下，求平面MB1A与平面ABC所成的二面角的大小；
（3）求B-AB1M体积的最大值．
A、B是直二面角α-l-β的棱l上的两点，分别在α，β内作垂直于棱l的线段AC，BD，已知AB=AC=BD=1，那么CD的长为（　　）
A．1B．2C．
2
D．
3
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是BD中点．
（Ⅰ）求证：平面BDD1B1⊥平面C1OC；
（Ⅱ）求二面角C1-BD-C的正切值．
已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．求：
（1）异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（2）二面角A-ED-B的正弦值；
（3）此几何体的体积V的大小．
如图，四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，侧棱与底面垂直，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=AD=1，BC=
2
，AA′=
6
2
．
（I）求证：DB⊥BC′；
（II）求二面角A′-BD-C的大小．
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1=BC=2，且M是BC的中点，点N在CC1上．
（1）试确定点N的位置，使AB1⊥MN；
（2）当AB1⊥MN时，求二面角M-AB1-N的大小．
已知三个互不重合的平面且 ，给出下列命题：
①则                   ②则
③若则                 ④若则
其中正确命题的个数为（ ）.
A．1B．2C．3D．4
设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列四个命题：
①若m?β，α⊥β，则m⊥α；②若α∥β，m?α，则m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β.
其中正确命题的序号是(　　)
A．①③B．①②C．③④D．②③

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