Question

8．设函数f（x）=lnx-ax在点A（1，f（1））处的切线为l．
（1）证明：无论a为何值，函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）；
（2）设点Q（x₀，f（x₀）），当x₀＞1时，直线QA的斜率恒小于2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出切线l的方程，构造函数g（x）=lnx-ax-[（1-a）x-1]=lnx-x，求导数，可得任意x＞0且x≠1，g（x）＜0，即可证明无论a取何值，函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）；
（2）当x₀＞1时，直线QA的斜率恒小于2?$\frac{ln{x}_{0}-a{x}_{0}+a}{{x}_{0}-1}$＜2对x₀∈（1，+∞）恒成立，可得lnx₀+（-2-a）（x₀-1）＜0对x₀∈（1，+∞）恒成立，分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）证明：f（1）=ln1-a=-a，f′（1）=1-a，
切线l的方程为y+a=（1-a）（x-1），即y=（1-a）x-1，
构造函数g（x）=lnx-ax-[（1-a）x-1]=lnx-x，则g′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
解g′（x）=0得x=1．
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上单调递增，
同理可知，g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）在x=1处取到极大值，也是最大值为-1，
∴任意x＞0且x≠1，g（x）≤-1＜0，
∴f（x）＜（1-a）x-1，
即无论a取何值，函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）；
（2）由A（1，-a）、Q（x₀，lnx₀-ax₀），得k_AQ=$\frac{ln{x}_{0}-a{x}_{0}+a}{{x}_{0}-1}$，
∴当x₀＞1时，直线QA的斜率恒小于2?$\frac{ln{x}_{0}-a{x}_{0}+a}{{x}_{0}-1}$＜2对x₀∈（1，+∞）恒成立．
∴lnx₀+（-2-a）（x₀-1）＜0对x₀∈（1，+∞）恒成立，
令h（x）=lnx+（-2-a）（x-1），（x＞1）．
则h′（x）=$\frac{1}{x}$-2-a，
（ⅰ）当a≤-2时，由x＞1，知h′（x）＞0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（1）=0，不满足题意的要求．
（ⅱ）当-2＜a＜-1时，
∴当x∈（1，$\frac{1}{2+a}$），h′（x）＞0；当x∈（$\frac{1}{a+2}$，+∞），h′（x₀）＜0，
即h（x）在（1，$\frac{1}{2+a}$）上单调递增；在（$\frac{1}{2+a}$，+∞）上单调递减．
所以存在t∈（1，+∞）使得h（t）＞h（1）=0，不满足题意要求．
（ⅲ）当a≥-1时，0＜$\frac{1}{2+a}$≤1，对于x₀＞1，h′（x₀）＜0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，恒有h（x）＜h（1）=0，满足题意要求．
综上所述：当a≥-1时，直线PQ的斜率恒小于2．

点评 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想．