题目内容

3.已知抛物线x2=y上一定点B(1,1)和两个动点P、Q,当P在抛物线上运动时,BP⊥PQ,则Q点的
纵坐标的取值范围是(  )
A.(-∞,-2]∪[2,+∞)B.(-∞,0]∪[3,+∞)C.(-∞,1]∪[3,+∞)D.(-∞,1]∪[4,+∞)

分析 设P(t2,t),Q(s2,s),通过BP⊥PQ,转化$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{PQ}=0$,方程化为t2+(s+1)•t+s+1=0,利用△≥0.求解即可.

解答 解:设P(t2,t),Q(s2,s)∵BP⊥PQ,∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{PQ}=0$,
即(t2-1,t-1)•(s2-t2,s-t)=(t2-1)•(s2-t2)+(t-1)•(s-t)=0
即t2+(s+1)•t+s+1=0
∵t∈R,∴必须有△=(s+1)2-4(s+1)≥0.即s2-2s-3≥0,
解得s≤-1或s≥3.
Q点的纵坐标的取值范围是:(-∞,-1]∪[3,+∞).
故选:C.

点评 本题考查向量在解析几何中的应用,直线的垂直体积的应用,考查转化思想以及计算能力.

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