题目内容
【题目】设集合,若X是的子集,把X中所有元素的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为的奇(偶)子集.
(1)写出S4的所有奇子集;
(2)求证:的奇子集与偶子集个数相等;
(3)求证:当n≥3时,的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.
【答案】见解析
【解析】(1).
(2)对于的奇子集,
当时,取;
当时,取,则为的偶子集.
反之,若为的偶子集,
当时,取;
当时,取,则为的奇子集.
的奇子集与偶子集之间建立了一一对应的关系,所以的奇子集和偶子集的个数相等.
(3)对于任意,当时,含的的子集共有个.
由(2)可知,对每个数,在奇子集与偶子集中,所占的个数是相等的;
当时,将(2)中的1换成3即可.可知在奇子集与偶子集中所占的个数是相等的.
则每个元素在奇子集与偶子集中所占的个数相等.
所以Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.
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