题目内容
【题目】如图,直角梯形与等腰直角三角形
所在的平面互相垂直,
.
(1)求直线与平面
所成角的正弦值;
(2)线段上是否存在点
,使
平面
?若存在,求出
;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)点
满足
时,有
.
【解析】
试题分析:(1)先证明两两垂直,通过建立适当的坐标系,向量法求解;(2)通过线
的方向向量和平面
的法向量垂直证明
.
试题解析:取
的中点
,连
,则
,因为平面
,且
,平面
,所以
,所以
,由
两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系
.
因为三角形为等腰直角三角形,所以
,设
,
所以,所以
,平面
的一个法向量为
.设直线
与平面
所成角为
,所以
.即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
存在点
,且
时, 有
.证明如下:假设
上存在点
,使得
平面,
连接交
于点
,连接
,则
,所以
, 由
,得
,
其他证明方法:由,所以
,设平面
的一个法向量为
,则有
,所以
,取
得,
,
因为,且
,所以
.即点
满足
时,有
.
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