Question

6．已知f（x）=x²-ax-6a，其中a是常数．
（1）若f（x）＜0的解集是{x|-3＜x＜6}，求a的值，并解不等式$\frac{f（x）}{x-a}$≥0．
（2）若不等式f（x）＜0有解，且解区间长度不超过5个长度单位，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（x）=x²-ax-6a＜0的解集是{x|-3＜x＜6}，利用韦达定理求得a=3，用穿根法求得不等式$\frac{f（x）}{x-a}≥0$的解集．
（2）设f（x）=x²-ax-6a＜0的解集是{x|x₁＜x＜x₂}，由判别式大于零求得a的范围；由|x₂-x₁|≤5求得a的范围，再把这2个a的范围取交集，可得所求．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-ax-6a＜0的解集是{x|-3＜x＜6}，
∴x²-ax-6a=0的两根是x₁=-3，x₂=6，
∴x₁+x₂=a=-3+6，x₁•x₂=-6a=-3×6，∴a=3，
∴不等式$\frac{f（x）}{x-a}=\frac{{{x^2}-3x-18}}{x-3}≥0$，即 $\frac{{{x^2}-3x-18}}{x-3}=\frac{{（{x-6}）（x+3）}}{x-3}≥0$，
用穿根法求得不等式$\frac{f（x）}{x-a}≥0$的解集是{x|-3≤x＜3或x≥6}．
（2）设f（x）=x²-ax-6a＜0的解集是{x|x₁＜x＜x₂}，
依题意$\left\{{\begin{array}{l}{△={{（{-a}）}^2}+24a＞0}\\{{x_1}+{x_2}=a，{x_1}•{x_2}=-6a}\\{|{{x_2}-{x_1}}|≤5}\end{array}}\right.$．
∴由a²+24a＞0，求得a＞0或a＜-24，
由|x₂-x₁|≤5得${（{x{\;}_1+{x_2}}）^2}-4{x_1}{x_2}≤25$，
∴a²+24a-25≤0，∴-25≤a≤1，
∴-25≤a＜-24或0＜a≤1，∴所求a的取值范围是[-25，-24）∪（0，1]．

点评 本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，二次函数的性质、韦达定理的应用，属于基础题．