题目内容

已知函数,函数,且mp<0),给出下列结论:
①存在实数rs,使得对于任意实数x恒成立;
②函数的图像关于点对称;
③函数可能不存在零点(注:使关于x的方程的实数x叫做函数的零点);
④关于x的方程的解集可能为{-1,1,4,5}.
其中正确结论的序号为         (写出所有正确结论的序号).
①③
(1)函数的定义域为
,得
时,
时,∵,∴,当且仅当,即时,,故存在实数,使得对于任意实数x恒成立,故结论①正确。
(2)设为函数图像上的任意一点,关于点的对称点为,则
所以
知点不在函数的图像上,故函数的图像不关于点对称,结论②不正确。
(3)令,得,当时,由(1)知,方程无解,即函数不存在零点,故结论③正确。
(4)由(2)知,函数的图像关于直线对称,则关于x的方程的解关于对称,但,结论④不正确。
综上,正确结论的序号为①③。
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