Question

18．设f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$是奇函数（a，b，c∈Z），且f（1）=2，f（2）＜3，求f（x）

Answer 1

分析 由f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$是奇函数，求出c，利用f（1）=2，f（2）＜3，求出a，b，即可求f（x）．

解答 解：由f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$是奇函数，得f（-x）=-f（x）对定义域内x恒成立，
则$\frac{a（-x）^{2}+1}{-bx+c}$=-$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$
∴-bx+c=-（bx+c）
对定义域内x恒成立，
即c=0．        
又f（1）=2，f（2）＜3，
∴$\frac{a+1}{b}$=2①，$\frac{4a+1}{2b}$＜3②
由①得a=2b-1代入②得$\frac{2b-3}{2b}$＜0
∴0＜b＜$\frac{3}{2}$
又a，b，c是整数，得b=a=1，
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$．

点评 本题考查函数的解析式，考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，属于中档题．