题目内容

(本小题满分14分)对于函数,若存在,使成立,则称的不动点。如果函数有且仅有两个不动点,且

 

 

(1)试求函数的单调区间;

(2)已知各项均为负的数列满足,求证:

 

(3)设为数列的前项和,求证:

 

 

【答案】

(1)设

 

     ∴     ∴

 

 

又∵    ∴     ∴    …… 3分 

 

于是

 

;   由

故函数的单调递增区间为

单调减区间为                       ……4分

(2)由已知可得,     当时,

两式相减得

时,,若,则这与矛盾

     ∴                       ……6分

于是,待证不等式即为。为此,我们考虑证明不等式

 

 

再令     由

 

∴当时,单调递增    ∴   于是

        ①

 

    由

 

∴当时,单调递增    ∴   于是

 

     ②

 

由①、②可知                  ……10分

 

所以,,即         ……11分

 

(3)由(2)可知   则

 

中令n=1,2,3…………..2010并将各式相加得

 

 

    

【解析】略

 

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