题目内容
(本小题满分14分)对于函数,若存在
,使
成立,则称
为
的不动点。如果函数
有且仅有两个不动点
、
,且
。
(1)试求函数的单调区间;
(2)已知各项均为负的数列满足
,求证:
;
(3)设,
为数列
的前
项和,求证:
。
【答案】
(1)设
∴
∴
由
又∵
∴
∴
…… 3分
于是
由得
或
; 由
得
或
故函数的单调递增区间为
和
,
单调减区间为和
……4分
(2)由已知可得,
当
时,
两式相减得
∴或
当时,
,若
,则
这与
矛盾
∴ ∴
……6分
于是,待证不等式即为。为此,我们考虑证明不等式
令则
,
再令,
由
知
∴当时,
单调递增 ∴
于是
即 ①
令,
由
知
∴当时,
单调递增 ∴
于是
即 ②
由①、②可知
……10分
所以,,即
……11分
(3)由(2)可知 则
在中令n=1,2,3…………..2010并将各式相加得
即
【解析】略

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