Question

19．实数x，y满足x²+y²≤5，则3|x+y|+|4y+9|+|7y-3x-18|的最大值是（　　）

• A． 27+6$\sqrt{5}$
• B． 27
• C． 30
• D． 336

Answer 1

分析 设x=rcosθ，y=rsinθ，0≤r≤5，θ∈[0，2π），所给的式子化为 27+3|x+y|+3（x-y），分类讨论求得它的最大值．

解答 解：设x=rcosθ，y=rsinθ，0≤r≤5，θ∈[0，2π）．
则|4y|=4rsinθ≤4$\sqrt{5}$＜9，
|7y-3x|=|7rsinθ-3rcosθ|≤$\sqrt{49+9}$ r≤$\sqrt{290}$＜18，
|x+y|=|$\sqrt{2}$rsin（θ+$\frac{π}{4}$）|≤$\sqrt{2}$•$\sqrt{5}$=$\sqrt{10}$，
∴3|x+y|+|4y+9|+|7y-3x-18|=3|x+y|+（4y+9）+（18-7y+3x）
=27+3|x+y|+3（x-y）．
当|x+y≥0时，27+3|x+y|+3（x-y）=27+6x=27+6rcosθ≤27+6$\sqrt{5}$，
当|x+y＜0时，27+3|x+y|+3（x-y）=27+6x=27+6rcosθ≤27+6$\sqrt{5}$，
不妨假设x≥y，则27+3|x+y|+3（x-y）=27-6y=27-6rcosθ≤27+6$\sqrt{5}$，
故3|x+y|+|4y+9|+|7y-3x-18|的最大值是27+6$\sqrt{5}$，
故选：A．

点评 本题主要考查三角代换，绝对值不等式的解法，去掉绝对值是解题的关键，属于中档题．