题目内容
【题目】已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , 椭圆C过点P(1, ),直线PF1交y轴于Q,且 =2 ,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M是椭圆C的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆C于A,B两点,设这两条直线的斜率分别为k1 , k2 , 且k1+k2=2,证明:直线AB过定点.
【答案】
(1)解:∵椭圆C过点 ,∴ ①,
∵ =2 ,∴PF2⊥F1F2,则c=1,
∴a2﹣b2=1,②
由①②得a2=2,b2=1,
∴椭圆C的方程为
(2)解:当直线AB的斜率不存在时,设A(x0,y0),则B(x0,﹣y0),由k1+k2=2得 ,得x0=﹣1.
当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx+m(m≠1),A(x1,y1),B(x2,y2), ,
得 ,
∴ ,
即 ,
由m≠1,(1﹣k)(m+1)=﹣kmk=m+1,
即y=kx+m=(m+1)x+mm(x+1)=y﹣x,
故直线AB过定点(﹣1,﹣1)
【解析】(1)由椭圆C过点 ,可得 ,由 =2 ,可得PF2⊥F1F2 , 可得c=1,及其a2﹣b2=1,联立解出即可得出.(2)对直线AB的斜率分类讨论:当直线AB的斜率不存在时,利用k1+k2=2,及其斜率计算公式即可得出.当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx+m(m≠1),A(x1 , y1),B(x2 , y2),直线方程与椭圆方程联立化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出.