题目内容

【题目】已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , 椭圆C过点P(1, ),直线PF1交y轴于Q,且 =2 ,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M是椭圆C的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆C于A,B两点,设这两条直线的斜率分别为k1 , k2 , 且k1+k2=2,证明:直线AB过定点.

【答案】
(1)解:∵椭圆C过点 ,∴ ①,

=2 ,∴PF2⊥F1F2,则c=1,

∴a2﹣b2=1,②

由①②得a2=2,b2=1,

∴椭圆C的方程为


(2)解:当直线AB的斜率不存在时,设A(x0,y0),则B(x0,﹣y0),由k1+k2=2得 ,得x0=﹣1.

当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx+m(m≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),

由m≠1,(1﹣k)(m+1)=﹣kmk=m+1,

即y=kx+m=(m+1)x+mm(x+1)=y﹣x,

故直线AB过定点(﹣1,﹣1)


【解析】(1)由椭圆C过点 ,可得 ,由 =2 ,可得PF2⊥F1F2 , 可得c=1,及其a2﹣b2=1,联立解出即可得出.(2)对直线AB的斜率分类讨论:当直线AB的斜率不存在时,利用k1+k2=2,及其斜率计算公式即可得出.当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx+m(m≠1),A(x1 , y1),B(x2 , y2),直线方程与椭圆方程联立化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出.

练习册系列答案
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(1)若学生宿舍建筑为层楼时,该楼房综合费用为万元,综合费用是建筑费用与购地费用之和),写出的表达式;

(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,学校应把楼层建成几层?此时平均综合费用为每平方米多少万元?

【答案】(1);(2)学校应把楼层建成层,此时平均综合费用为每平方米万元

【解析】

由已知求出第层楼房每平方米建筑费用为万元,得到第层楼房建筑费用,由楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高万元,然后利用等差数列前项和求建筑层楼时的综合费用

设楼房每平方米的平均综合费用为,则,然后利用基本不等式求最值.

解:由建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为万元,

且楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高万元,

可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为:万元.

建筑第1层楼房建筑费用为:万元

楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高:万元

建筑第x层楼时,该楼房综合费用为:

设该楼房每平方米的平均综合费用为

则:

当且仅当,即时,上式等号成立.

学校应把楼层建成10层,此时平均综合费用为每平方米万元.

【点睛】

本题考查简单的数学建模思想方法,训练了等差数列前n项和的求法,训练了利用基本不等式求最值,是中档题.

型】解答
束】
20

【题目】已知

(1)求函数的最小正周期和对称轴方程;

(2)若,求的值域.

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